1. 学习目标
这组实验主要解决以下问题：
- 从零实现线性回归的代价函数和梯度；
- 使用批量梯度下降训练模型；
- 判断梯度下降是否正在收敛；
- 选择合适的学习率；
- 使用 Z-score 标准化加快收敛；
- 通过特征工程实现多项式回归；
- 使用 Scikit-Learn 完成标准化、训练与预测。
2. 梯度下降的核心流程
线性回归模型：
$$f_{\mathbf{w},b}(\mathbf{x}) = \mathbf{w}\cdot\mathbf{x}+b$$整个训练过程可以概括为：
输入训练数据 X、y
↓
使用当前 w、b 计算预测
↓
预测值减去真实值得到误差
↓
根据全部误差计算梯度
↓
沿梯度反方向更新 w、b
↓
重复，直到代价不再明显下降
参数更新规则：
$$w_j \leftarrow w_j-\alpha\frac{\partial J}{\partial w_j}$$$$b \leftarrow b-\alpha\frac{\partial J}{\partial b}$$其中：
- $\alpha$：学习率，决定每一步走多远；
- 梯度：代价函数上升最快的方向；
- 减去梯度：向代价下降的方向移动。
3. 实践一：从零实现一元线性回归
实验使用城市人口预测餐厅利润：
x_train：城市人口，单位为 10,000 人；y_train：餐厅月利润，单位为 10,000 美元；- 数据集共有 97 个样本。
一元线性回归模型：
$$f_{w,b}(x^{(i)})=wx^{(i)}+b$$3.1 实现代价函数
平方误差代价函数：
$$J(w,b) = \frac{1}{2m} \sum_{i=0}^{m-1} \left( f_{w,b}(x^{(i)})-y^{(i)} \right)^2$$代码：
def compute_cost(x, y, w, b):
m = x.shape[0]
total_cost = 0.0
for i in range(m):
prediction = w * x[i] + b
error = prediction - y[i]
total_cost += error ** 2
return total_cost / (2 * m)
这里除以 $2m$：
- 除以 $m$：计算所有样本的平均损失；
- 除以 2：求导后平方项产生的 2 可以抵消，使梯度公式更简洁。
3.2 实现梯度
梯度公式：
$$\frac{\partial J}{\partial w} = \frac{1}{m} \sum_{i=0}^{m-1} \left( f_{w,b}(x^{(i)})-y^{(i)} \right)x^{(i)}$$$$\frac{\partial J}{\partial b} = \frac{1}{m} \sum_{i=0}^{m-1} \left( f_{w,b}(x^{(i)})-y^{(i)} \right)$$代码：
def compute_gradient(x, y, w, b):
m = x.shape[0]
dj_dw = 0.0
dj_db = 0.0
for i in range(m):
prediction = w * x[i] + b
error = prediction - y[i]
dj_dw += error * x[i]
dj_db += error
dj_dw /= m
dj_db /= m
return dj_dw, dj_db
dj_dw 多乘了一个 x[i]，因为 $w$ 是和输入 $x$ 相乘的参数；而 $b$ 只是直接相加，因此 dj_db 不需要乘 x[i]。
3.3 批量梯度下降
import copy
import math
def gradient_descent(
x, y,
w_in, b_in,
cost_function,
gradient_function,
alpha,
num_iters
):
w = copy.deepcopy(w_in)
b = b_in
J_history = []
for i in range(num_iters):
dj_dw, dj_db = gradient_function(x, y, w, b)
# 必须使用同一次迭代计算出的梯度同步更新
w = w - alpha * dj_dw
b = b - alpha * dj_db
if i < 100_000:
J_history.append(cost_function(x, y, w, b))
if i % math.ceil(num_iters / 10) == 0:
print(
f"Iteration {i:4d}: "
f"Cost {J_history[-1]:8.2f}"
)
return w, b, J_history
实验参数：
initial_w = 0.0
initial_b = 0.0
iterations = 1500
alpha = 0.01
w, b, J_history = gradient_descent(
x_train,
y_train,
initial_w,
initial_b,
compute_cost,
compute_gradient,
alpha,
iterations
)
实验结果大约为：
w = 1.1664
b = -3.6303
预测利润：
profit_35k = (3.5 * w + b) * 10_000
profit_70k = (7.0 * w + b) * 10_000
print(profit_35k) # 约 4519.77 美元
print(profit_70k) # 约 45342.45 美元
这里的"批量"表示：
每轮使用全部 $m$ 个训练样本计算平均梯度，然后更新一次参数。
4. 多变量梯度下降
假设训练数据形状为：
X：(m, n)
y：(m,)
w：(n,)
b：标量
其中：
- $m$：训练样本数量；
- $n$：每个样本的特征数量。
预测：
y_hat = X @ w + b
误差：
errors = y_hat - y
向量化代价：
def compute_cost(X, y, w, b):
errors = X @ w + b - y
return np.sum(errors ** 2) / (2 * X.shape[0])
向量化梯度：
def compute_gradient(X, y, w, b):
m = X.shape[0]
errors = X @ w + b - y
dj_dw = X.T @ errors / m
dj_db = np.sum(errors) / m
return dj_dw, dj_db
形状变化：
X.T ：(n, m)
errors ：(m,)
X.T @ errors ：(n,)
dj_dw ：(n,)
dj_db ：标量
最终得到的 dj_dw 恰好包含 $n$ 个梯度，对应 $w$ 中的 $n$ 个参数。
5. 学习率实验
在未缩放的房价数据中，不同学习率会产生不同表现。
$\alpha=9.9\times10^{-7}$
学习率过大：
- 参数更新越过最低点；
- 代价不断增加；
- 模型发散。
$\alpha=9\times10^{-7}$
学习率稍小：
- 代价持续下降；
- 参数仍会在最低点两侧震荡；
- 最终能够收敛。
$\alpha=1\times10^{-7}$
学习率更小：
- 参数较平稳地靠近最低点；
- 基本没有明显震荡；
- 但收敛速度更慢。
因此：
学习率太大 → 震荡或发散
学习率太小 → 稳定但很慢
学习率合适 → 快速且稳定下降
6. 为什么需要特征缩放？
房价数据包含以下特征：
面积：几百到几千
卧室：0 到 5
楼层：1 到 3
房龄：数十年
假设：
$$f(\mathbf{x})=w_1x_1+w_2x_2+b$$如果 $x_1$ 是房屋面积，最大接近 2000；$x_2$ 是卧室数量，最大只有 5。
对于面积 2000、5 间卧室的房屋，一组合适的参数可能是：
$$w_1=0.1,\quad w_2=50,\quad b=50$$预测为：
$$0.1\times2000+50\times5+50=500$$单位是千美元，即 50 万美元。
可以看到：
- 数值范围大的特征，参数通常较小；
- 数值范围小的特征，参数通常较大。
这会让代价函数的等高线变得非常狭长：
未缩放：
梯度下降在狭长峡谷两侧反复震荡
缩放后：
等高线更接近圆形
梯度下降更直接地靠近最低点
特征缩放通常不会改变模型能够达到的最优结果，主要作用是让训练更快、更稳定。
7. 三种特征缩放方法
7.1 除以最大值
$$x_j' = \frac{x_j}{\max(x_j)}$$例如：
面积范围：300～2000
缩放后：0.15～1
卧室范围：0～5
缩放后：0～1
7.2 均值归一化
$$x_j' = \frac{x_j-\mu_j} {\max(x_j)-\min(x_j)}$$减去均值后，数据会以 0 为中心。
7.3 Z-score 标准化
$$x_j' = \frac{x_j-\mu_j}{\sigma_j}$$其中：
$$\mu_j = \frac{1}{m} \sum_{i=0}^{m-1}x_j^{(i)}$$$$\sigma_j = \sqrt{ \frac{1}{m} \sum_{i=0}^{m-1} \left(x_j^{(i)}-\mu_j\right)^2 }$$处理后，每个特征通常具有：
- 均值接近 0；
- 标准差接近 1；
- 各特征具有相似的数值范围。
NumPy 实现：
def zscore_normalize_features(X):
mu = np.mean(X, axis=0)
sigma = np.std(X, axis=0)
X_norm = (X - mu) / sigma
return X_norm, mu, sigma
使用：
X_norm, X_mu, X_sigma = zscore_normalize_features(X_train)
实验中，未缩放数据只能使用约 1e-7 的学习率；经过 Z-score 标准化后，可以从 0.1 左右开始尝试，收敛速度明显加快。
8. 预测新数据时的关键规则
标准化训练数据后，必须保存训练集的均值和标准差。
预测面积 1200 平方英尺、3 间卧室、1 层、房龄 40 年的房屋：
x_house = np.array([1200, 3, 1, 40])
x_house_norm = (
x_house - X_mu
) / X_sigma
price = x_house_norm @ w_norm + b_norm
不能对新样本重新计算均值和标准差。
错误：
# 不要这样做
new_mu = np.mean(x_house)
new_sigma = np.std(x_house)
正确原则：
训练集：计算并保存 mu、sigma
验证集：使用训练集的 mu、sigma
测试集：使用训练集的 mu、sigma
新数据：使用训练集的 mu、sigma
否则训练和预测使用的不是同一个坐标系。
9. 如何判断梯度下降是否收敛？
记录每次更新后的代价：
J_history.append(
compute_cost(X, y, w, b)
)
绘制学习曲线：
plt.plot(J_history)
plt.xlabel("Iteration")
plt.ylabel("Cost J")
plt.show()
正常曲线：
J
│\
│ \
│ \____
│ ───
└──────────── 迭代次数
如果代价持续下降并逐渐变平，说明梯度下降正在收敛。
也可以使用自动收敛条件：
$$\left| J^{(t)}-J^{(t-1)} \right|<\epsilon$$例如：
if abs(J_history[-1] - J_history[-2]) < 1e-3:
break
但实际学习中，直接观察学习曲线通常更直观。
10. 梯度下降调试方法
10.1 代价不断增加
可能原因：
- 学习率太大；
- 参数更新误写成了加号；
- 梯度公式实现错误。
错误：
w = w + alpha * dj_dw
正确：
w = w - alpha * dj_dw
b = b - alpha * dj_db
10.2 使用很小的学习率进行测试
把 alpha 设置得非常小。
如果代码正确，代价函数理论上应该缓慢下降。如果很小的学习率下代价仍然增加，通常说明代码存在错误。
需要注意：
很小的学习率适合调试，但不一定适合正式训练，因为它可能导致收敛非常慢。
10.3 尝试一系列学习率
可以按大约 3 倍的间隔尝试：
0.001
0.003
0.01
0.03
0.1
0.3
1
选择能够让代价快速、持续下降的较大学习率。
11. 特征工程
特征工程是利用业务知识，从已有特征构造更有意义的新特征。
例如：
- $x_1$：土地宽度；
- $x_2$：土地深度。
可以构造土地面积：
$$x_3=x_1x_2$$代码：
area = width * depth
模型变为：
$$f(\mathbf{x}) = w_1x_1+w_2x_2+w_3x_3+b$$相比只使用宽度和深度，面积可能与房价具有更直接的关系。
12. 多项式回归
假设真实数据为：
$$y=1+x^2$$如果只使用原始特征 $x$，线性回归只能拟合直线：
$$f(x)=wx+b$$可以构造平方特征：
x = np.arange(0, 20, 1)
y = 1 + x ** 2
X = (x ** 2).reshape(-1, 1)
模型变为：
$$f(x)=w_1x^2+b$$虽然它对原始变量 $x$ 是非线性的，但对参数 $w_1,b$ 仍然是线性的，所以仍可以使用线性回归的训练方法。
不知道应该使用几次项时，可以构造多个候选特征：
X = np.c_[
x,
x ** 2,
x ** 3
]
对应模型：
$$f(x) = w_1x+w_2x^2+w_3x^3+b$$多项式特征必须注意尺度
如果：
x：1～1000
那么：
x²：1～1,000,000
x³：1～1,000,000,000
尺度差异会非常大，因此应进行标准化：
X = np.c_[x, x ** 2, x ** 3]
X_norm, mu, sigma = zscore_normalize_features(X)
特征缩放后，可以使用更大的学习率，训练速度会明显提高。
13. 使用 Scikit-Learn
Scikit-Learn 可以直接完成标准化和梯度下降回归。
import numpy as np
from sklearn.linear_model import SGDRegressor
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
13.1 标准化训练数据
scaler = StandardScaler()
X_norm = scaler.fit_transform(X_train)
fit_transform() 包含两步：
fit → 从训练集计算均值和标准差
transform → 使用这些统计量转换数据
13.2 创建并训练模型
sgdr = SGDRegressor(
max_iter=1000,
random_state=0
)
sgdr.fit(X_norm, y_train)
查看训练信息：
print(sgdr.n_iter_) # 实际迭代轮数
print(sgdr.t_) # 权重更新次数
查看参数：
w_norm = sgdr.coef_
b_norm = sgdr.intercept_
print(w_norm)
print(b_norm)
这些参数对应的是标准化后的输入数据，不能直接按原始面积、卧室数量的单位解释。
13.3 进行预测
y_pred_sgd = sgdr.predict(X_norm)
也可以手动计算：
y_pred_manual = X_norm @ w_norm + b_norm
检查两种结果：
np.allclose(
y_pred_sgd,
y_pred_manual
)
不要使用：
(y_pred_sgd == y_pred_manual).all()
浮点数运算可能存在很小的舍入误差，应使用 np.allclose()。
13.4 预测新房屋
x_house = np.array([
[1200, 3, 1, 40]
])
x_house_norm = scaler.transform(x_house)
price = sgdr.predict(x_house_norm)
print(price)
对新数据只能调用：
scaler.transform()
不能再次调用：
scaler.fit_transform()
因为重新 fit 会改变标准化使用的均值和标准差。
13.5 SGD 与批量梯度下降的区别
手写实验使用的是批量梯度下降：
使用全部训练样本
→ 计算一次平均梯度
→ 更新一次参数
SGDRegressor 使用随机梯度下降：
依次使用单个样本或小批次
→ 更频繁地更新参数
两者都在尝试降低代价函数，但参数更新方式不同。
14. Notebook 中的 NameError
实验中出现：
NameError: name 'plt' is not defined
NameError: name 'load_house_data' is not defined
NameError: name 'run_gradient_descent' is not defined
这通常不是模型或公式的问题，而是依赖单元格没有运行。
Notebook 中的变量只存在于当前内核的内存里。重启内核、断线或者跳过前面的单元格，都会导致变量不存在。
正确运行顺序：
1. 运行 import 单元格
2. 运行辅助函数单元格
3. 加载训练数据
4. 标准化数据
5. 训练模型
6. 计算预测
7. 绘制图像
如果 Notebook 状态混乱，可以使用：
Restart Kernel and Run All
15. 高频易错点
w和b必须同步更新 同一轮参数更新必须使用更新前计算出的同一组梯度。更新公式使用减号 梯度指向代价上升方向，因此需要减去梯度。
特征尺度差异会拖慢收敛 面积、卧室数量、楼层、房龄应进行缩放。
预测新数据必须复用训练集统计量 不能为新样本重新计算均值和标准差。
多项式特征更需要缩放 $x,x^2,x^3$ 的数值范围可能相差多个数量级。
浮点数不要直接使用
==比较 使用np.isclose()或np.allclose()。权重较大不一定代表特征更重要 权重大小受到特征尺度影响，也不代表因果关系。
SGDRegressor 不是批量梯度下降 它使用随机梯度下降，只是优化目标与线性回归相似。
16. 一页实践模板
import numpy as np
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import SGDRegressor
# 1. 准备数据
X_train, y_train = load_house_data()
# 2. 标准化
scaler = StandardScaler()
X_norm = scaler.fit_transform(X_train)
# 3. 训练
model = SGDRegressor(
max_iter=1000,
random_state=0
)
model.fit(X_norm, y_train)
# 4. 训练集预测
y_pred = model.predict(X_norm)
# 5. 新数据预测
x_new = np.array([
[1200, 3, 1, 40]
])
x_new_norm = scaler.transform(x_new)
prediction = model.predict(x_new_norm)
# 6. 检查手动计算
manual_prediction = (
X_norm @ model.coef_
+ model.intercept_
)
print(np.allclose(
y_pred,
manual_prediction
))
整组实验最重要的主线是：
准备训练数据
→ 检查特征尺度
→ 使用训练集统计量标准化
→ 选择学习率
→ 运行梯度下降
→ 观察代价是否持续下降
→ 保存参数和标准化器
→ 用相同的转换处理新数据
→ 进行预测
一句话总结：
梯度下降负责寻找参数，特征缩放负责让寻找过程更快、更稳定，学习曲线负责判断训练是否正常，特征工程负责让线性模型表达更复杂的关系。